Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z + 5 = 0\). a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\) nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt \(\Delta \) và vuông góc với \(\Delta \). c) Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

a) Ta có I thuộc \(\Delta \) nên I\(\left( {1 + t;2t; - 1 - 2t} \right)\). Mặt khác I thuộc (P) suy ra \(2\left( {1 + t} \right) + 2t - 1 - 2t + 5 = 0 \Leftrightarrow 2t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 3\). Do đó, I\(\left( { - 2; - 6;5} \right)\). b) Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\). Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 2} \right)\). Đường thẳng \(\Delta '\) nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với \(\Delta \) nên \(\Delta '\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {4; - 5; - 3} \right)\). Mặt khác có đường thẳng \(\Delta '\) nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt \(\Delta \) nên I thuộc \(\Delta '\). Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y =  - 6 - 5t\\z = 5 - 3t\end{array} \right.\) c) Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2 + 2 - 1} \right|}}{{\sqrt 9  \cdot \sqrt 6 }} = \frac{2}{{3\sqrt 6 }}\) suy ra \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {15,8^ \circ }\).