Đề bài

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D. a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O). b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

a) Do H là điểm tiếp xúc của (M) và AB nên BH, AH là tiếp tuyến của (M). Ta có: BD, DH là 2 tiếp tuyến của (M) cắt nhau tại B nên \(BD = BH\). Ta lại có: AC, HA là 2 tiếp tuyến của (M) cắt nhau tại A nên \(CA = AH\). Suy ra \(AC + BD = AH + BH = AB\). Mà AB không đổi (là bán kính của (O)) nên AC + BD không đổi. b) Vì AC, HA là 2 tiếp tuyến của (M) nên \(\widehat {AMC} = \widehat {AMH}\), BD, DH là 2 tiếp tuyến của (M) nên \(\widehat {BMH} = \widehat {DMB}\). Mà góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \). Do đó \(\widehat {AMH} + \widehat {BMH} = \widehat {AMC} + \widehat {DMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {AMH} + \widehat {BMH} + \widehat {AMC} + \widehat {DMB} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) hay C, M, D thẳng hàng. Ta có \(\Delta AMO\) cân tại O (do MO, AO là bán kính (O)) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {MAO}\). Mặt khác \(\widehat {MAO} = \widehat {MAC}\) (do AC, AH là tiếp tuyến (M)) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {MAO} = \widehat {MAC}\) mà \(\widehat {MAC} + \widehat {CMA} = 90^\circ \) (\(\Delta CAM\) vuông) nên \(\widehat {AMO} + \widehat {CMA} = \widehat {CMO} = 90^\circ \), suy ra \(MO \bot CM\) hay \(MO \bot CD\). Mà OM là bán kính (O), vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).