Đề bài

Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C' và B'. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A' (Hình 53).

a) Chứng minh AA' là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).

b) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ và diện tích tam giác AB'C'.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AC' = AB' = 10\)cm (bán kính (A)), \(BC' = BA' = 15\)cm (bán kính (B)), \(CA' = CB' = 15\)cm (bán kính (C)). Do \(AB = BC' + AC' = 15 + 10 = 25\)cm và \(AC = CB' + AB' = 15 + 10 = 25\)cm nên \(AB = AC\), do đó A thuộc đường trung trực của BC. Mà \(BA' = CA' = 15\)cm nên \(A'\) thuộc đường trung trực của BC. Suy ra \(AA'\) đường trung trực của BC, nên \(AA' \bot BC\) tại A’ Vậy \(AA'\) là tiếp tuyến chung của (B) và (C). b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AA'B\) có: \(AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}}  = \sqrt {{{25}^2} - 15{'^2}}  = 20\)cm. Gọi H là giao điểm của AA’ và B’C’. Ta có \(BC = BA' + CA' = 15 + 15 = 30\)cm. Xét tam giác ABC có \(\frac{{AC'}}{{AB}} = \frac{{AB'}}{{AC}} = \frac{{10}}{{25}}\) nên \(B'C'//BC\) (định lý Thales đảo). Do đó \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{AB'}}{{AC}}\) hay \(B'C' = \frac{{BC.AB'}}{{AC}} = \frac{{30.10}}{{25}} = 12\)cm. Xét tam giác ACA’ có \(HB'//CA'\) nên \(\frac{{AH}}{{AA'}} = \frac{{AB'}}{{AC}}\) (định lý Thales) hay \(AH = \frac{{AB'.AA'}}{{AC}} = \frac{{10.20}}{{25}} = 8\)cm. Ta có \(B'C'//BC,AA' \bot BC\) nên \(B'C' \bot AA'\) hay \(AH \bot C'B'\).

Diện tích tam giác \(AB'C'\) là \(\frac{1}{2}B'C'.AH = \frac{1}{2}.12.8 = 48\)cm².