Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có \(AD = 2AB\). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MDCN là hình thoi; b) Tam giác EMC là tam giác cân; c) \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\).

Lời giải chi tiết

Xét bài toán phụ 1:🃏 Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Lấy P đối xứng với M qua N. Chứng minh rằng MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\).

Chứng minh:

Tam giác AMN và tam giác CPN có:\(NA = NC\left( {gt} \right),\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}\) (hai góc đối đỉnh), \(NM = NP\) (gt)Do đó, \(\Delta ANM = \Delta CNP\left( {c - g - c} \right)\)Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên CP//AB hay CP//BMLại có: \(CP = AM = BM\)Tứ giác BMPC có: CP//BM, \(CP = BM\) nên tứ giác BMPC là hình bình hành. Do đó, MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\)

Xét bài toán phụ 2:ℱ Cho hình thang ABCD với AD//BC \(\left( {AD < BC} \right)\). Qua điểm D vẽ đường thẳng DE song song với AB (E thuộc BC); gọi N, Q lần lượt là trung điểm của cạnh DC, DE, M là giao điểm của NQ và AB. Chứng minh rằng \(MA = MB\)

Chứng minh:

Xét tam giác DEC có N, Q lần lượt là trung điểm của DC, DE nên NQ//EC, \(NQ = \frac{1}{2}EC\) (theo bài toán phụ 1)Suy ra: MQ//BE//ADTheo giả thiết: DE//AB Tứ giác ADQM có: MQ/ //AD, MA//QD (gt) nên tứ giác ADQM là hình bình hành. Do đó: \(MA = QD\)Tứ giác MBEQ có: MQ//BE, BM//QE nên tứ giác MBEQ là hình bình hành. Do đó, \(MB = QE\)Lại có: \(QD = QE\) (gt) suy ra: \(MA = MB\)

Giải bài 5:

 a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AD//BCVì \(MF \bot CE,AB \bot CE\) nên MF//AB. Suy ra: AB//CD//MFTứ giác MDCN có: MD//NC (cmt), MN//CD (cmt) nên tứ giác MDCN là hình bình hành.Lại có: \(MD = \frac{1}{2}AD = CD\) nên MDCN là hình thoi.b) Xét tứ giác ADCE có: AE//CD (theo câu a)Do đó, tứ giác ADCE là hình thang.Hình thang ADCE có: M là trung điểm của AD (giả thiết), AE//MF//CD (theo câu a)Theo bài toán phụ 2 ta có F là trung điểm của CE.Xét tam giác ECM có: MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE, \(MF \bot CE\) (gt) nên tam giác EMC cân tại M.c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên \(\widehat {NMD} = 2\widehat {NMC}\) (tính chất đường chéo của hình thoi)Ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {NMD} = 2\widehat {NMC} = 2\widehat {EMF}\) (1)Lại có: \(\widehat {AEM} = \widehat {EMF}\) (do AB//MN, hai góc so le trong) (2)Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)