Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB//DC). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các đoạn thẳng AD, AC, BC theo thứ tự tại M, I, N. Chứng minh rằng: a) \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\); b) \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} = 1\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC có MI//DC (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AI}}{{IC}}\)Tam giác ABC có NI//AB (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IC}}\)Do đó, \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\)b) Tam giác ADC có MI//DC (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{AI}}{{AC}}\)Tam giác ABC có NI//AB (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{CI}}{{AC}}\)Do đó, \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{AI}}{{AC}} + \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AC}} = 1\)