Đề bài

Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng \(BM = \dfrac{1}{3}BC\)

Lời giải chi tiết

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.Ta có \(\dfrac{{AG}}{{A{\rm{D}}}} = \dfrac{2}{3}\) hay \(AG = \dfrac{2}{3}A{\rm{D}}\)Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: \(\dfrac{{AG}}{{A{\rm{D}}}} = \dfrac{{BM}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{2}{3}\)Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên \(\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{BM}}{{2B{\rm{D}}}} = \dfrac{2}{{2.3}} = \dfrac{1}{3}\)Do đó \(BM = \dfrac{1}{3}BC\) (đpcm).