Đề bài

Cho tam giác 💟\(ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\). Vẽ \(DE\) // \(AB\), vẽ \(DF\) // \(AC\) \((E \in AC\); \(F \in AB)\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(AEDF\) là hình chữ nhật

b) Tứ giác \(BFED\) là hình bình hành

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\ꦓwidehat {{\rm{BA🍒C}}} = 90^\circ \) và \(AB \bot AC\)

Mà \(DE\) // \(AB\) ; \(DF\) // \(AC\)

Suy ra \(DE \bot AC;\;DF \bot AB\)

Suy ra ♚\(\widehat {DEA}꧋ = \widehat {DFA} = 90^\circ \)

Tứ giác \(AEDF\) có \(\widehat {BAC} =𝓡🍰 \widehat {DEA} = \widehat {DFA} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật

b) Vì \(AEDF\) là hình chữ nhật (cmt)

Suy ra \(AE = DF\); \(AF = DE\); \(AF\❀) // \(DE\); \(AE\) // \(DF\)

Vì \(DE \bot AC;\;DF \bot AB\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {DEC} = \wide💦hat {BFD} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta BFD\) và \(\Delta DEC\) ta có:

\(\widehat {{\rm{BFD}}} = \widehat {{\rm{DEC}}} = 90^\🍨൲circ \) (cmt)

\(BD = DC\) (gt)

🔥\(\widehat {{\rm{FBD}}} = \widehat {{\rm{EDC}}}\) (do \(DE\) // \(BF\) )

Suy ra \(\Delta BFD = \Delta DEC\) (ch – gn)

Suy ra \(BF🧜 = DE\); \(DF = EC\) (hai cạnh 🌠tương tứng)

Xét tứ giác \(BFED\) ta có:

\(BF\) // \(DE\) (do \(AB\) // \(DE\))

\(BF = DE\) (cmt)

Suy ra \(BFED\) là hình bình hành