Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có đườn✅g cao \(AH\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(HC\), \(CE\). Các đường thẳng \(AM\), \(AN\) cắt \(HE\) tại \(G\) và \(K\).

a) Chứng minh tứ giác \(AHCE\) là hình chữ nhật

b) Chứng minh \(HG = GK = KE\)

Lời giải chi tiết

a) Do \(E\) 𒅌là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(HE\) hay \(HI = EI▨\)

Tứ giác \(AHCE\) có hai đường chéo \(AC\) và \(HE\) cắt nhau tại trung điểm \(I\) (gt) 💜nên là hình bình hàn🌠h.

Lại có \(\widehat {AHC} = 90^\cܫirc \) (do \(AH\) là đường cao) nên hình bình hành \(AHCE\) là hình chữ nhật.

b) Xét \(\Delta AHC\) có \(AM\), \(HI\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(G\) nên🥃 \(G\) là trọng tâm của \🌺(\Delta AHC\).

Suy ra: \(HG = \frac{2}{3}HI;\;IG = \fr💜ac{1}{2}HG\)

Chứng minh tưng tự đối với \(\Delt𒉰a AEC\) có \(K\) là trọng tâm của \(\Delta AEC\)

Suy ra: \(EK =🎐 \frac{2}{3}EI\) ꧑và \(IK = \frac{1}{2}EK\)

Ta có: \(HG = \ඣfrac{2}{3}HI;\;EK = \frac{2}{3}EI\) mà \(HI = EI\)

Suy ra \(HG = EK = \frac{2}{3}EI\)

Mà \(EI = \frac{1}{2}EH\)

Suy ra \(HG = EK = \frac{1}{3}HE\)

Suy ra \(GK = HE - HG - KE = HE - \frac{1}{3}HE - \frac{1}{3}HE = \frac{1�♊�}{3}HE\)

Vậy \(HG = GK = KE\)