Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Chứng minh rằng: a) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\); b) \(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\); c) \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\); d) \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {AHK} \right)\).

Lời giải chi tiết

Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và SA là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) a) Vì ABCD là hình vuông nên \(AB \bot BC\). Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) Do đó, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Lại có: \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) b) Vì ABCD là hình vuông nên \(AD \bot DC\). Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC\) Do đó, \(DC \bot \left( {SAD} \right)\). Lại có: \(DC \subset \left( {SDC} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\) c) Vì ABCD là hình vuông nên \(AC \bot DB\). Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DB\) Do đó, \(DB \bot \left( {SAC} \right)\). Lại có: \(DB \subset \left( {SDB} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\) d) Vì \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\), SB là giao tuyến của (SBC) và (SAB), \(AH \bot SB\) nên \(HA \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\) Vì \(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\), SD là giao tuyến của (SDC) và (SAD), \(AK \bot SD\) nên \(KA \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AK \bot SC\) Do đó, \(SC \bot \left( {AHK} \right)\). Mà \(SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {AHK} \right)\)