Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết \(SA = a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SDI) và (ABCD) là \({60^0}\). Tính độ dài SI.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(AK \bot ID\) tại K. Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot ID\), mà \(AK \bot ID\) nên \(ID \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ID \bot SK\) Ta có: \(AK \bot ID,ID \bot SK,AK \subset \left( {ABCD} \right),SK \subset \left( {SID} \right)\), ID là giao tuyến của hai mặt phẳng SID và ABCD. Do đó, \(\left( {\left( {SID} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SK,AK} \right) = \widehat {SKA} = {60^0}\) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AD,AK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD,SA \bot AK\) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SAD vuông tại A có: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \) Tam giác SAK vuông tại A nên: \(\sin \widehat {SKA} = \frac{{SA}}{{SK}} \Rightarrow SK = \frac{{SA}}{{\sin \widehat {SKA}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) Tam giác SID vuông tại S, đường cao SK có: \(\frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{S{D^2}}} = \frac{1}{{S{K^2}}} \) \( \Rightarrow \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{1}{{S{K^2}}} - \frac{1}{{S{D^2}}} = \left( {\frac{9}{{12{a^2}}}} \right) - \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{20{a^2}}} \) \( \Rightarrow SI = \frac{{2a\sqrt {55} }}{{11}}\)