Đề bài

Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R. a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân. b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC. c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

(H.3.17). a) Do MR // AP nên tứ giác APMR là hình thang.

Ta có \(\widehat A = 60^\circ \) (do ∆ABC đều).

Do MP // BC nên \(\widehat B = \widehat {APM} = 60^\circ .\) Từ đó suy ra \(\widehaᩚᩚᩚᩚᩚᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ𒀱ᩚᩚᩚt A = \widehat {APM}♔\) nên APMR là hình thang cân.

b) Tương tự câu a, ta có các tứ giác BQMP và CRMQ là những hình thang cân.Do APMR, BQMP và CRMQ là những hình thang cân, suy ra RP = AM, PQ = BM, QR = CM (hai đường chéo của hình thang cân).Chu vi của tam giác PQR làPQ + RP + QR = BM + AM + CM.c) Tam giác PQR là tam giác đều có nghĩa là PQ = QR = RP, tức là MB = MC = MA.Vậy M cách đều ba đỉnh A, B, C tức M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.