Đề bài

Cho \(a,b \ge 0\). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) \(\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\)

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạpVới \(n = 1\) ta có \(\frac{{{a^1} + {b^1}}}{2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^1}\)Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 1\)Giải sử bất đẳng thức đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}\)Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \(\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\)Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}.\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\)Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được: \(\left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}\)Hay \(\left( {{a^k} + {b^k}} \right).\left( {a + b} \right) \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)\)Hay \({a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + b{a^k} + a{b^k} \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)\) Hay \({a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} - b{a^k} - a{b^k} \ge 0\)Hay \(\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\) đúng vì \(\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\) và \(\left( {a - b} \right)\) cùng dấu, \(k \in \mathbb{N}*;a,b \ge 0.\)Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.