Đề bài

Một nhóm nghiên cứu đã đo mức độ ồn của các phương tiến giao thông trên hai đường phố vào một ngày trong tuần, trong khoảng thời gian từ 5 giờ 30 phút đến 10 giờ 10 phút. Người ta thực đã thực hiện 92 lần đo ở mỗi con đường vào những khoảng thời gian như nhau. Kết quả thống kê được ghi lại như trong bảng sau:

Hãy so sánh độ phân tán mức độ ồn của các phương tiện giao thông ở hai đường phố trên: a) theo khoảng biến thiên; b) theo khoảng tứ phân vị; c) theo phương sai.

Lời giải chi tiết

Ta có bảng sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường I là: \({R_I} = 79 - 59 = 20\left( {dB} \right)\). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường II là: \({R_{II}} = 83 - 55 = 28\left( {dB} \right)\). Do đó, nếu so sánh theo khoảng biến thiên, mức độ ồn trên đường II phân tán hơn trên đường I. b) • Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường I: Cỡ mẫu: \({n_I} = 4 + 11 + 41 + 25 + 11 = 92\) Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{92}}\) là mẫu số liệu gốc gồm mức độ ồn trên đường I theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{23}} + {x_{24}}} \right) \in \left[ {67;71} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_{I1}} = 67 + \frac{{\frac{{1.92}}{4} - \left( {4 + 11} \right)}}{{41}}\left( {71 - 67} \right) = \frac{{2779}}{{41}}\) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{69}} + {x_{71}}} \right) \in \left[ {71;75} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_{I3}} = 71 + \frac{{\frac{{3.92}}{4} - \left( {4 + 11 + 41} \right)}}{{25}}\left( {75 - 71} \right) = \frac{{1827}}{{25}}\) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta {Q_I} = {Q_{I3}} - {Q_{I3}} = \frac{{1827}}{{25}} - \frac{{2779}}{{41}} = \frac{{5432}}{{1025}} \approx 5,3\left( {dB} \right)\). • Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường II: Cỡ mẫu: \({n_{II}} = 5 + 19 + 43 + 18 + 7 = 92\) Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{92}}\) là mẫu số liệu gốc gồm mức độ ồn trên đường II theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{23}} + {x_{24}}} \right) \in \left[ {67;71} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_{II1}} = 67 + \frac{{\frac{{1.92}}{4} - 5}}{{19}}\left( {71 - 67} \right) = \frac{{1345}}{{19}}\) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{69}} + {x_{71}}} \right) \in \left[ {75;79} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_{II3}} = 75 + \frac{{\frac{{3.92}}{4} - \left( {5 + 19 + 43} \right)}}{{18}}\left( {75 - 71} \right) = \frac{{679}}{9}\) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta {Q_{II}} = {Q_{II3}} - {Q_{II3}} = \frac{{679}}{9} - \frac{{1345}}{{19}} = \frac{{796}}{{171}} \approx 4,65\left( {dB} \right)\). Do đó, nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị, mức độ ồn trên đường I phân tán hơn trên đường II. c) • Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường I: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline {{x_I}}  = \frac{{4.61 + 11.65 + 41.69 + 25.73 + 11.77}}{{92}} = \frac{{1615}}{{23}}\) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(S_I^2 = \frac{1}{{92}}\left( {{{4.61}^2} + {{11.65}^2} + {{41.69}^2} + {{25.73}^2} + {{11.77}^2}} \right) - {\left( {\frac{{1615}}{{23}}} \right)^2} = \frac{{8048}}{{529}} \approx 15,21\) • Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường II: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline {{x_{II}}}  = \frac{{5.57 + 19.69 + 43.73 + 18.77 + 7.81}}{{92}} = \frac{{1672}}{{23}}\) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(S_{II}^2 = \frac{1}{{92}}\left( {{{5.57}^2} + {{19.69}^2} + {{43.73}^2} + {{18.77}^2} + {{7.81}^2}} \right) - {\left( {\frac{{1672}}{{23}}} \right)^2} \approx 25,12\) Do \(S_I^2 < S_{II}^2\) nên khi so sánh theo phương sai, mức độ ồn trên đường II phân tán hơn trên đường I.