Đề bài

Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét ∆ABC và ∆BAD có: AD = BC (giả thiết) AC = BD (giả thiết) Cạnh AB chung Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c) Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng). Xét ∆ACD và ∆BDC có: AD = BC (giả thiết) AC = BD (giả thiết) Cạnh CD chung Do đó ∆ADC = ∆BCD (c.c.c) Suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) (hai góc tương ứng). Xét ∆OAD và ∆OBC có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên) AD = BC (giả thiết) \(\widehat {DAC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) (chứng minh trên) Do đó ∆OAD = ∆OBC (g.c.g). Suy ra OA = OB; OC = OD (các cặp cạnh tương ứng). Khi đó, các tam giác OAB, OCD là tam giác cân tại O. Suy ra \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA};\widehat {OC{\rm{D}}} = \widehat {O{\rm{D}}C}\) Xét ∆OAB và ∆OCD cân tại O có: • \(\widehat {AOB} = \widehat {CO{\rm{D}}}\) (hai góc đối đỉnh) • \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA};\widehat {OC{\rm{D}}} = \widehat {O{\rm{D}}C}\) • \(\widehat {OAB} + \widehat {OBA} + \widehat {AOB} = \widehat {OC{\rm{D}}} + \widehat {O{\rm{D}}C} + \widehat {CO{\rm{D}}} = {180^o}\) \(\begin{array}{l}\widehat {OAB} + \widehat {OBA} = \widehat {OC{\rm{D}}} + \widehat {O{\rm{D}}C}\\2\widehat {OAB} = 2\widehat {OC{\rm{D}}}\end{array}\) Suy ra \(\widehat {OAB} = \widehat {OC{\rm{D}}}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong. Do đó AB // CD. Tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang. Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang cân. Vậy nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân.