Đề bài

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({0^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha  = \sqrt 2 .\) Tính giá trị của biểu thức \(K = \frac{{{{\sin }^3}\alpha  + \sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha  - 4{{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}.\)

Lời giải chi tiết

Chia cả tử vào mẫu của biểu thức K cho \({\cos ^3}\alpha \) ta được:

\(\begin{array}{l}K = \frac{{{{\sin }^3}\alpha  + \sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha  - 4{{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}\\K = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{\sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - \frac{{4{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}\\K = \frac{{{{\tan }^3}\alpha  + \tan \alpha  + 2{{\tan }^2}\alpha  - 4}}{{\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}\\K = \frac{{{{\tan }^3}\alpha  + \tan \alpha  + 2{{\tan }^2}\alpha  - 4}}{{\tan \alpha .\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) - \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}}\\K = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + \sqrt 2  + 2{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 4}}{{\sqrt 2 \left[ {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right] - \left[ {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]}}\\K = \frac{{3\sqrt 2 }}{{3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  - 1}} = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2  + 1} \right).\end{array}\)