Đề bài

Cho góc \(\alpha ,\,\,{90^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ }\) thỏa mãn \(\sin \alpha  = \frac{3}{4}.\) Tính giá trị của biểu thức \(F = \frac{{\tan \alpha  + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha  + \cot \alpha }}.\)

Lời giải chi tiết

Vì \({90^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ }\)nên \(\cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{9}{{16}}}  =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\)Ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{4}:\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }}\) và \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{ - \sqrt 7 }}{4}:\frac{3}{4} = \frac{{ - \sqrt 7 }}{3}.\)\(F = \frac{{\tan \alpha  + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha  + \cot \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} + 2.\frac{{ - \sqrt 7 }}{3}}}{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} - \frac{{\sqrt 7 }}{3}}} = \frac{{\frac{{ - 23}}{{3\sqrt 7 }}}}{{\frac{{ - 16}}{{3\sqrt 7 }}}} = \frac{{23}}{{16}}.\)