Đề bài

Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác: a) Bé hơn chu vi của tứ giác; b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tùy ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là \({P_{ABCD}}\; = AB + BC + CD + DA\).a) Trong \(\Delta ABC\) có \(AC < AB + BC\) (bất đẳng thức trong tam giác)Trong \(\Delta ACD\) có \(AC < CD + DA\) (bất đẳng thức trong tam giác)Do đó \(AC + AC < AB + BC + \;CD + DA\) hay \(2AC < {P_{ABCD}}\;\) (1)Tương tự, trong \(\Delta ABD\) có \(BD < AD + AB\)Trong \(\Delta BCD\) có: \(BD < CD + BC\)Do đó  \(BD + BD < AD + AB + CD + BC\) hay \(2BD < {P_{ABCD}}\). (2)Từ (1) và (2) suy ra \(2\left( {AC + BD} \right) < 2{P_{ABCD}}\), do đó \(AC + BD < {P_{ABCD}}\).b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.Trong \(\Delta OAB\) có \(OA + OB > AB\) (bất đẳng thức trong tam giác)Trong \(\Delta OCD\) có \(OC + OD > CD\) (bất đẳng thức trong tam giác)Nên \(AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD\).Trong \(\Delta OAD\) có \(OA + OD > AD\) (bất đẳng thức trong tam giác)Trong \(\Delta OBC\) có \(OB + OC > BC\) (bất đẳng thức trong tam giác)Nên \(AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC\).Vậy \(2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA = {P_{ABCD}}\) Tức là \(AC + BD\; > \frac{1}{2}{P_{ABCD}}\) (đpcm).