Đề bài

Gọi H là giao của ba đường cao AI, BJ, CK của tam giác nhọn ABC. Dùng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh: \(\frac{{HI}}{{AI}} + \frac{{HJ}}{{BJ}} + \frac{{HK}}{{CK}} = 1\)

Hỏi khi góc A của tam giác ABC là góc tù thì công thức đó thay đổi thế nào?

Lời giải chi tiết

+ Trường hợp tam giác ABC nhọn:Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}IA.BC\)Diện tích tam giác HBC là: \({S_{HBC}} = \frac{1}{2}HI.BC\)Do đó, \(\frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HI.BC}}{{\frac{1}{2}AI.BC}} = \frac{{HI}}{{AI}}\)Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BJ.AC\)Diện tích tam giác HAC là: \({S_{HAC}} = \frac{1}{2}HJ.AC\)Do đó, \(\frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HJ.AC}}{{\frac{1}{2}BJ.AC}} = \frac{{HJ}}{{BJ}}\)Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}CK.AB\)Diện tích tam giác HAB là: \({S_{HAB}} = \frac{1}{2}HK.AB\)Do đó, \(\frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HK.AB}}{{\frac{1}{2}CK.AB}} = \frac{{HK}}{{CK}}\)Vậy \(\frac{{HI}}{{AI}} + \frac{{HJ}}{{BJ}} + \frac{{HK}}{{CK}} = \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\)Trường hợp góc A tù, H nằm trong góc đối đỉnh với góc BAC, ta có: \({S_{ABC}} = {S_{HBC}} - {S_{HAB}} - {S_{HAC}}\) Do đó, \(\frac{{HI}}{{AI}} - \frac{{HJ}}{{BJ}} - \frac{{HK}}{{CK}} = 1\)