Đề bài

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD. Với mỗi tam giác OAB, OBC, OCD, ODA, xét giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Tại sao bốn điểm vừa vẽ là bốn đỉnh của một hình thoi?

Lời giải chi tiết

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAB, OCD thì O, P, Q cùng nằm trên đường phân giác của góc AOB.Do ABCD là hình bình hành nên+ \(OB = OD\)+ AB//CD, AD//BCSuy ra: \(\widehat {ODC} = \widehat {OBA};\widehat {OCD} = \widehat {OAB}\) (so le trong)Mà DQ, BP lần lượt là tia phân giác của góc ODC và góc OBA nên \(\widehat {OBP} = \widehat {ODQ}\)Tam giác OBP và tam giác ODQ có:\(\widehat {OBP} = \widehat {ODQ}\), \(OB = OD\), \(\widehat {BOP} = \widehat {QOD}\) (đối đỉnh)Do đó, \(\Delta OBP = \Delta ODQ\left( {g - c - g} \right)\)Suy ra \(OP = OQ\) hay O là trung điểm của PQ.Gọi R, S lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAD, OBC.Chứng minh tương tự, ta có O là trung điểm của RS, đường thẳng RS là đường phân giác của góc AOD.Ta có: \(\widehat {AOB} + \widehat {AOD} = {180^0}\)Nên \(\widehat {POA} + \widehat {ROA} = {90^0}\) hay \(PQ \bot RS\) tại O.Tứ giác PSQR có: O là trung điểm của PQ, O là trung điểm của RS nên PSQR là hình bình hành.Mà \(PQ \bot RS\) tại O. Do đó, PSQR là hình thoi.