Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Lấy điểm \(E\) thuộc cạnh \(BC\), điểm \(F\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(CE=AF\). Các đường thẳng \(AE,BF\) cắt đường thẳng \(DC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Các đường thẳng \(NA,MB\) cắt nhau tại \(K\). a)      Chứng minh: \(\Delta KAB\backsim \Delta KNM;\Delta CEM\backsim \Delta DAM;\Delta NFD\backsim \Delta NBC\). b)     So sánh \(CM.DN\) và \(A{{B}^{2}}\). c)      Các điểm \(E,F\) lấy ở vị trí nào trên các cạnh \(BC,AD\) thì \(MN\) có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải chi tiết

 

a)      Vì \(AB//MN\) nên \(\Delta KAB\backsim \Delta KMN\).Vì \(CE//AD\) nên \(\Delta CEM\backsim \Delta DAM\)Vì \(DF//BC\) nên \(\Delta NFD\backsim \Delta NBC\).b)     Vì \(\Delta CEM\backsim \Delta BEA\) nên \(\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}\) (1)Vì \(\Delta NDF\backsim \Delta BAF\) nên \(\frac{AF}{FD}=\frac{BA}{DN}\) (2)Từ (1) và (2) và \(CE=AF,BE=DF\), ta có \(\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}=\frac{AF}{FD}=\frac{BA}{DN}\).Do đó \(CM.DN=A{{B}^{2}}\).c)      Ta có \({{\left( CM-DN \right)}^{2}}\ge 0\), suy ra \({{\left( CM+DN \right)}^{2}}\ge 4CM.DN\) hay \(CM+DN\ge 2\sqrt{CM.DN}=2AB\). Do đó \(MN=DN+CD+CM\ge 3AB\) (vì \(AB=CD\)). Vậy \(MN\) có độ dài nhỏ nhất bằng \(3AB\). Dấu “=” xảy ra khi \(CM=DN=a\) hay \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\).