Đề bài

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) \(f(x) =  - 5x + 2\) b) \(f(x) = - {x^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y =  - 5x + 2\) xác định trên \(\mathbb{R}\)Lấy \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\).Do  \({x_1} < {x_2}\) nên \( - 5{x_1} >  - 5{x_2}\), suy ra \( - 5{x_1} + 2 >  - 5{x_2} + 2\)Từ đây ta có \(f({x_1}) > f({x_2})\)Vậy hàm số ngịch biến (giảm) trên \(\mathbb{R}\)b) Xét hàm số \(y = f(x) =  - {x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\)+ Trên khoảng \((0; + \infty )\) lấy \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\)., ta có: \(f({x_1}) - f({x_2}) =  - {x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)({x_2} + {x_1})\)Do  \({x_1} < {x_2}\) nên \( {x_2} - {x_1} > 0\) và do \({x_1},{x_2} \in (0; + \infty )\) nên \({x_1} + {x_2} > 0\).Từ đây suy ra \(f({x_1}) - f({x_2}) > 0\) hay \(f({x_1}) > f({x_2})\)Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng \((0; + \infty )\)+ Trên khoảng \(( - \infty ;0)\) lấy \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\)., ta có: \(f({x_1}) - f({x_2}) =  - {x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)({x_2} + {x_1})\) Do  \({x_1} < {x_2}\) nên \( {x_2} - {x_1} > 0\) và do \({x_1},{x_2} \in ( - \infty ;0)\) nên \({x_1} + {x_2} < 0\).Từ đây suy ra \(f({x_1}) - f({x_2}) < 0\) hay \(f({x_1}) < f({x_2})\)Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng \(( - \infty ;0)\)