Đề bài

Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A𝓀 bằng \(60^\circ \). Tìm độ dài của các vectơ sau: \(\overrightarrow p  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow v  = 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết

+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành

 Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow p  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) \(\Rightarrow  |\overrightarrow p|  = | \overrightarrow {AC}| =AC \)+) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \) \(\Rightarrow  |\overrightarrow u|  = | \overrightarrow {DB}| =DB\)+) \(\overrightarrow v  = 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB} \) \(\Rightarrow  |\overrightarrow v|  = | \overrightarrow {DB}| =DB\)+ Tính \(AC, DB\)Tam giác ABD có \(AB=AD=a, \widehat A = 60^o\) nên nó là tam giác đều. Do đó DB = a.Gọi O là giao điểm hai đường chéo.Ta có: \(AO = AB. \sin B = a. \sin 60^o = \frac {a \sqrt 3}{2} \Rightarrow  AC = a \sqrt 3\)Vậy \(|\overrightarrow p|  =  a \sqrt 3 ,|\overrightarrow u|  =  a, |\overrightarrow v|  =  a.\)