Đề bài

Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là hai vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng? a) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\); b) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|\) .

Lời giải chi tiết

a) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\) \( \Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)\( \Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \)Vậy \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a , \,\overrightarrow b \) cùng hướng.b) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  \Leftrightarrow 4\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \)Vậy \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a ,\overrightarrow b \) vuông góc với nhau.