Đề bài

a) 🍸Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\).

b) Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha  + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = 0\). Ta có bảng biến thiên:

b) Đặt \(x = \cos \alpha \), ta có \(M = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}},x \in \left( { - 1;1} \right]\). Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\min M = \mathop {\min }\limits_{\left( { - 1;1} \right]} \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = 0\) và \(\max M = \mathop {\max }\limits_{\left( { - 1;1} \right]} \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = y\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).