Đề bài

Chứng minh biểu thức \(B = {x^5} - 15{x^2} - x + 5\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\)

Lời giải chi tiết

Trước hết, ta chứng minh \({x^5} - x \vdots 5\)Ta có: \({x^5} - x = x\left( {{x^4} - 1} \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)Nếu \(x = 5k\) thì \(x \vdots 5\)Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^5} - x \vdots 5\)Nếu \(x = 5k + 1\) thì \(x - 1 = 5k \vdots 5\)Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)Nếu \(x = 5k + 2\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 2} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 20k + 5 \vdots 5\)Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)Nếu \(x = 5k + 3\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 3} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 30k + 10 \vdots 5\)Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)Nếu \(x = 5k + 4\) thì \(x + 1 = 5k + 5 \vdots 5\) Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)Do đó \({x^5} - x \vdots 5\) với mọi số nguyên \(x\)Ta có: \({x^5} - x \vdots 5;15{x^2} \vdots 5;5 \vdots 5\) nên \({x^5} - 15{x^2} - x + 5 \vdots 5\) với mọi số nguyên\(x\).Vậy \(B\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).