Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(CD\), \(SA\). a)    Chứng minh rằng \(SC\) song song với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). b)    Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\).Tứ giác \(AMCN\) có \(AM = CN\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\) và \(AM = CN\) nên nó là hình bình hành.Mà \(I\) là trung điểm của \(MN\) nên \(I\) là trung điểm của \(AC\).Mặt khác, ta có \(P\) là trung điểm của \(SA\) nên \(PI\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\). Suy ra \(PI\parallel SC\).Do \(PI \subset \left( {MNP} \right)\), ta kết luận \(SC\parallel \left( {MNP} \right)\).b) Gọi \(Q\) là trung điểm của \(SD\). Do \(N\) là trung điểm của \(CD\), nên \(NQ\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\), từ đó \(NQ\parallel SC\).Xét hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\), do \(N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng đi qua \(N\).Hơn nữa, do \(PI\parallel SC\), \(PI \subset \left( {MNP} \right)\), \(SC \subset \left( {SCD} \right)\), ta suy ra giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với \(SC\). Đó chính là đường thẳng \(NQ\).