Đề bài

a) 𒉰Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 2\).

b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình \( - {x^3} + 3{x^2} + 5 - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó có hệ số góc lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). Sự biến thiên: Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 6x\) suy ra \(y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) và nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\), \(\left( {2; + \infty } \right)\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) và \({y_{CĐ}} =  2\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \({y_{CT}} =  - 2\). Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \). Ta có bảng biến thiên:

 

Đồ thị hàm số:

 

b) Ta có \( - {x^3} + 3{x^2} - 2 = 3 - m\). Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y = 3 - m\) cắt đồ thị \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 2\) tại ba điểm phân biệt. Điều này tương đương với \(2 < 3 - m < 2 \Leftrightarrow 1 < m < 5\). c) Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 6x =  - 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3 \le 3,{\rm{ }}\forall x\). Vậy tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất bằng 3 tại \(x = 1\). Do đó điểm cần tìm có tọa độ \(\left( {1;0} \right)\).