Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có \({10^{2n + 1}} + 1\) chia hết cho 11.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Với \(n = 0\) ta có \({10^1} + 1 \vdots 11\). Vậy khẳng định đúng với \(n = 0\). Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({10^{2k + 1}} + 1\) chia hết cho 11. Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({10^{2k + 3}} + 1\) chia hết cho 11. Thật vậy, ta có: \(\begin{array}{l}{10^{2k + 3}} + 1 = {10^{2k + 1}}.100 + 1 = ({10^{2k + 1}} + 1).100 + 1 - 100\\ = ({10^{2k + 1}} + 1).100 + 99\; \vdots 11\end{array}\) (vì \({10^{2k + 1}} + 1 \vdots 11,\;99 \vdots 11\)). Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.