Đề bài

Chứng minh rằng \(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1}\) Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1} = 2048\)

Lời giải chi tiết

Ta có:\({(1 + x)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\) (1)Thay \(x = 1\) vào hai vế của (1), ta suy ra\(C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n} = {2^{2n}}\)Thay \(x =  - 1\) vào hai vế của (1), ta suy ra\(C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - ... + C_{2n}^{2n} = 0\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1}\\ \Rightarrow 2\left( {C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1}} \right) = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1} = {2^{2n - 1}}\\ \Leftrightarrow 2048 = {2^{2n - 1}}\\ \Leftrightarrow {2^{11}}= {2^{2n - 1}}\\ \Leftrightarrow n = 6\end{array}\)