Đề bài

Cho ba số \(\frac{1}{{b + c}}\), \(\frac{1}{{c + a}}\), \(\frac{1}{{a + b}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \({a^2}\), \({b^2}\), \({c^2}\) theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

Vì ba số \(\frac{1}{{b + c}}\), \(\frac{1}{{c + a}}\), \(\frac{1}{{a + b}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng, nên ta có:

\(\frac{1}{{a + b}} - \frac{1}{{c + a}} = \frac{1}{{c + a}} - \frac{1}{{b + c}} \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} = \frac{2}{{c + a}} \Leftrightarrow \frac{{b + c + a + b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} = \frac{2}{{c + a}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{a + c + 2b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} = \frac{2}{{\left( {c + a} \right)}} \Leftrightarrow \left( {a + c + 2b} \right)\left( {a + c} \right) = 2\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} + 2b\left( {a + c} \right) = 2\left( {ac + {b^2} + ab + bc} \right)\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} + 2ac + 2ab + 2bc = 2ac + 2{b^2} + 2ab + 2bc \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\)Suy ra ba số \({a^2}\),\({b^2}\), \({c^2}\) theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.Bài toán được chứng minh.