Đề bài

Cho tam giác DEF vuông tại D \(\left( {DE > DF} \right)\), DM là đường trung tuyến \(\left( {M \in EF} \right)\). Gọi MN là đường vuông góc kẻ từ M đến DE \(\left( {N \in DE} \right)\), MK là đường vuông góc kẻ từ M đến DF \(\left( {K \in DF} \right)\), H là điểm đối xứng với M qua N. a) Tứ giác DKMN là hình gì? Vì sao? b) Gọi O là trung điểm của DM. Chứng minh ba điểm H, O, F thẳng hàng. c) Tam giác DEF cần thêm điều kiện gì để tứ giác KDMN là hình vuông?

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác DEF vuông tại D nên \(\widehat {EDF} = {90^0}\)Vì MN là đường vuông góc kẻ từ M đến DE nên \(\widehat {MNE} = \widehat {MND} = {90^0}\)Vì MK là đường vuông góc kẻ từ M đến DF nên \(\widehat {MKF} = \widehat {MKD} = {90^0}\)Tứ giác DKMN có: \(\widehat {EDF} = \widehat {MND} = \widehat {MKD} = {90^0}\) nên tứ giác DKMN là hình chữ nhật.b) Tam giác DEF vuông tại D nên DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(MD = \frac{1}{2}EF = ME\)Do đó, tam giác MDE cân tại M.Lại có: \(MN \bot DE\) nên MN là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MDE.Do đó, \(ND = NE = \frac{1}{2}DE\)Tứ giác DHEM có: \(ND = NE = \frac{1}{2}DE\), \(NH = NM = \frac{{HM}}{2}\) (vì H là điểm đối xứng với M qua N) nên tứ giác DHEM mà là hình bình hành. Do đó, \(DH = ME\), DH//MEMà M là trung điểm của EF nên \(ME = MF\), do đó \(DH = MF\)Tứ giác DHMF có: \(DH = MF\), DH//MFDo đó, tứ giác DHMF là hình bình hành.Mà O là trung điểm của DM nên O cũng là trung điểm của HF. Do đó, ba điểm H, O, F thẳng hàng. c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của góc KDN hay DM là đường phân giác của góc EDF.Khi đó, DM là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác xuất phát từ đỉnh D của tam giác DEF.Suy ra, tam giác DEF vuông cân tại D.