Đề bài

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho \(AP = PN = NB\). Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chừng minh: a)      \(MN//CP\) b)     \(AQ = QM\) c)      \(CP = 4PQ\)

Lời giải chi tiết

a)      Vì \(AP = PN = NB\) nên N là trung điểm BP. Mà M là trung điểm BC nên MN là đường trung bình của tam giác BPC. \( \Rightarrow MN//CP\) b)     Tam giác AMN có \(MN//CP\) nên: \(\frac{{AP}}{{PN}} = \frac{{AQ}}{{QM}}\) (Định lý Thales) Mà \(AP = PN = NB\) nên P là trung điểm AN hay \(\frac{{AP}}{{PN}} = 1\) \( \Rightarrow \frac{{AQ}}{{QM}} = 1 \Rightarrow AQ = QM\). c)      P là trung điểm AN, Q là trung điểm AM nên PQ là đường trung bình của tam giác AMN. \( \Rightarrow PQ = \frac{1}{2}MN\) Mà MN là đường trung bình của tam giác BPC nên \(MN = \frac{1}{2}CP \Rightarrow CP = 2MN\) Vậy \(CP = 4PQ\).