Đề bài

Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là \(10l\), Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Giả sử cạnh của hộp là: \({\rm{x}}\left( {dm} \right)\), chiều cao của hộp là: \({\rm{h}}\left( {dm} \right)\). Thể tích của hộp là: \(V = {x^2}.h = 10 \Leftrightarrow h = \frac{{10}}{{{x^2}}}\). Diện tích toàn phần của hình hộp là \(S = 2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}}.h = 2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}}.\frac{{10}}{{{x^2}}} = 2{{\rm{x}}^2} + \frac{{40}}{x}\left( {d{m^2}} \right)\) Xét hàm số \(S\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^2} + \frac{{40}}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Ta có: \(S'\left( x \right) = 4{\rm{x}} - \frac{{40}}{{{x^2}}};S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{10}}\). Bảng biến thiên:

\(V\left( 0 \right) = 0;V\left( 2 \right) = 128;V\left( 6 \right) = 0\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;6} \right]} V\left( x \right) = V\left( 2 \right) = 128\). Vậy với \(x = 2\left( {cm} \right)\) thì thể tích của hình hộp là lớn nhất.