Đề bài

Tìm toạ độ tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số sau theo tham số \(m\): \(y = f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^3} - 3{x^2} + 2\). Chứng tỏ khi \(m\) thay đổi, \(I\) luôn thuộc một parabol xác định.

Lời giải chi tiết

Để hàm số đã cho là hàm số bậc ba, ta cần có điều kiện: \(2 - m \ne 0\) hay \(m \ne 2\). (*) \(y'=3\left( 2-m \right){{x}^{2}}-6x;y''=6\left( 2-m \right)x-6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2-m}\). Vậy \({x_I} = \frac{1}{{2 - m}}\). Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số có tung độ: \({y_I} = \left( {2 - m} \right).{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)^3} - 3.{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)^2} + 2 = 2 - \frac{2}{{{{\left( {2 - m} \right)}^2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)^2} =  - 2x_I^2 + 2\). Vậy \({y_I}\) là một hàm số bậc hai theo \({x_I}\). Suy ra tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc một parabol, đó là đồ thị hàm số bậc hai \(y =  - 2{x^2} + 2\). Mặt khác \({x_I} = \frac{1}{{2 - m}}\) nên \(m = 2 - \frac{1}{{{x_I}}}\). Do \(m \ne 2\) nên \(2 - \frac{1}{{{x_I}}} \ne 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{{x_I}}} \ne 0\) (luôn đúng với mọi \({x_I} \in \mathbb{R}\)). Vậy khi \(m\) thay đổi, \(I\) luôn thuộc parabol \(y =  - 2{x^2} + 2\).