Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng: a) \(\widehat {NCA} = \widehat {MFN}\) và \(\widehat {NEA} = \widehat {NCA}\) b) CM + CN = EF.

Lời giải chi tiết

a) Ta có các điểm A, M, C, F cách đều điểm I (trung điểm của MF) suy ra tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn. Do tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {MCA} = \widehat {MFA}\) hay \(\widehat {NCA} = \widehat {MFN}\) Tương tự tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {NEA} = \widehat {NCA}\). b) Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {ENC} = \widehat {EAC} = {45^o}\). Mà \(\widehat {NCE} = {90^o}\). Suy ra tam giác CEN cân tại C. Vì thế CN = CE  (1). Tương tự tam giác CMF cân tại C suy ra CM = CF  (2). Từ (1) và (2) suy ra CM + CN = CE + CF = EF.