Đề bài

🙈Cho \(\widehat {xAy} = {60^o}\) và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; kẻ đường thẳng BM vuông góc với Ax cắt Ay tại K (Hình 14). Chứng minh:

♒a) Các tứ giác AMBN, HMNK là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) HK = 2MN

 

Lời giải chi tiết

a) Gọi I; J lần lượt là trung điểm của AB, HK. Khi đó MI, NI lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của các tam giác vuông AMB, ANB nên IM = IN = IA = IB = \(\frac{{AB}}{2}\). Suy ra tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AB. Tương tự tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn tâm J đường kính HK. b) Do tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {AMN} = \widehat {NKH} = ( = {180^o} - \widehat {HMN})\) hay \(\widehat {AMN} = \widehat {AKH}\). Mà \(\widehat {MAN} = \widehat {KAH}\) suy ra \(\Delta AMN\backsim \Delta AKH\). Do đó \(\frac{{HK}}{{MN}} = \frac{{AH}}{{AN}}\) (3).

Lại có tam giác AHN vuông tại N nên cos \(\widehat {HAN} = \frac{{AN}}{{AH}}\) hay cos 60^oꦍ = \(\frac{{AN}}{{AH}}\), tức là \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{1}{2}\).

Do đó AH = 2 AN (4). Từ (3) và (4) suy ra HK = 2 MN.