Đề bài

Cho đường tròn tâm O bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA = 25\)cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H. a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác OCB có \(OC = OB\left( { = R} \right)\) nên tam giác OCB cân tại O, mà \(OH \bot CB\) nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác OCB, suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\). Xét tam giác OAC và OAB có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\); OA chung; \(OC = OB\) Do đó \(\Delta OAC = \Delta OAB\left( {g.c.g} \right)\), suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {ABO}\). Mà \(\widehat {ABO} = 90^\circ \)(do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)) nên \(\widehat {ACO} = 90^\circ \). Vậy AC là tiếp tuyến của (O). b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOC ta có: \(AC = \sqrt {A{O^2} - C{O^2}}  = \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}}  = 20\)cm. Vì \(\Delta OAC = \Delta OAB\) nên \(AC = AB = 20\)cm. Xét tam giác OCH và OAC ta có: \(\widehat {{O_1}}\) chung; \(\widehat {OHC} = \widehat {OCA}\left( { = 90^\circ } \right)\) nên \(\Delta OHC\backsim \Delta OCA\left( g.g \right)\) Do đó \(\frac{{HC}}{{CA}} = \frac{{OC}}{{OA}}\) hay \(HC = \frac{{CA.OC}}{{OA}} = \frac{{20.15}}{{25}} = 12\)cm. Vì OH là đường trung tuyến của tam giác OCB nên \(HC = HB = 12cm\) và \(CB = HC + HB = 12 + 12 = 24cm\). Vậy \(AC = AB = 20\)cm; \(CB = 24cm\).