Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Lấy điểm B sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OB. Kẻ hai tiếp tuyến BM, BN của đường tròn (O). a) Tính số đo góc MBN và độ dài đoạn thẳng BM theo R. b) Tứ giác AMON là hình gì ? Vì sao? c) Tính độ dài đoạn thẳng OH theo R với H là giao điểm của OA và MN.

Lời giải chi tiết

a) Ta có A là trung điểm của đoạn thẳng OB nên \(OB = 2OA = 2R\). Do BM, BN là 2 tiếp tuyến của (O) nên \(MO \bot BM,NO \bot BN\) hay \(\widehat {BMO} = \widehat {BNO} = 90^\circ \)  và \(\widehat {MBO} = \widehat {NBO} = \frac{{\widehat {MBN}}}{2}\); \(\widehat {MOB} = \widehat {NOB}\). Xét tam giác MBO vuông tại M có \(\sin \widehat {MBO} = \frac{{MO}}{{BO}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\), do đó \(\widehat {MBO} = 30^\circ \). Ta có \(\widehat {MBO} = \frac{{\widehat {MBN}}}{2}\) hay \(\widehat {MBN} = 2\widehat {MBO} = 2.30^\circ  = 60^\circ \). Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OBM có: \(BM = \sqrt {B{O^2} - M{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3 \) b) Xét tam giác vuông MOB có \(\widehat {MBO} = 30^\circ \) nên \(\widehat {MOB} = 90^\circ  - \widehat {MBO} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \) Mà \(\widehat {MOB} = \widehat {NOB}\) nên \(\widehat {NOB} = 60^\circ \). Xét tam giác AMO có \(AO = MO\left( { = R} \right)\) và \(\widehat {MOB} = 60^\circ \) nên tam giác AMO đều, suy ra \(AM = MO\). Xét tam giác ANO có \(AO = NO\left( { = R} \right)\) và \(\widehat {NOB} = 60^\circ \) nên tam giác ANO đều, suy ra \(AN = NO\). Mà \(OM = ON\left( { = R} \right)\) nên \(OM = ON = AM = AN\).

Vậy AMON là hình thoi.

c) Vì AMON là hình thoi  nên 2 đường chéo AO và MN vuông góc với nhau. Xét tam giác vuông MHO ta có: \(\cos \widehat {MOH} = \frac{{OH}}{{MO}}\) hay \(OH = \cos \widehat {MOH}.MO = \cos 60^\circ .R = \frac{R}{2}\).