Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = 2BC\). Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD. Chứng minh: a) AIKD và BIKC là hình vuông. b) \(IK = \frac{{DC}}{2}\) và \(\widehat {DIC} = {90^0}\).

Lời giải chi tiết

 a) Vì I là trung điểm của AB nên \(AI = IB = \frac{1}{2}AB\)Vì K là trung điểm của CD nên \(DK = CK = \frac{1}{2}DC\)Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD, \(AB = CD\), \(AD = BC\)Do đó, \(IA = IB = DK = CK\)Mà \(AB = 2BC\) nên \(IA = IB = DK = CK = AD = BC\)Tứ giác AIKD có: \(DK = AI\), AI//DK nên AIKD là hình bình hành. Mà \(IA = AD\) nên AIKD là hình thoi. Lại có \(\widehat A = {90^0}\) nên AIKD là hình vuông.Tứ giác BIKC có: \(IB = KC\), BI//CK nên BIKC là hình bình hành. Mà \(IB = BC\) nên BIKC là hình thoi. Lại có \(\widehat B = {90^0}\) nên BIKC là hình vuông.b) Vì AIKD là hình vuông nên \(IK = DK = \frac{{DC}}{2}\) và \(\widehat {IDC} = \frac{1}{2}\widehat {ADC} = {45^0}\)Vì BIKC là hình vuông nên \(\widehat {DCI} = \frac{1}{2}\widehat {DCB} = {45^0}\)Tam giác DIC có: \(\widehat {DIC} = {180^0} - \widehat {DCI} - \widehat {CDI} = {90^0}\)