Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + \frac{2}{3}\). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\). b) Tìm \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\). c) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). d) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Khi \(m = 2\) hàm số trở thành \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x + \frac{2}{3}\). Tập xác định: \(\mathbb{R}\). + Sự biến thiên: Ta có \(y' = {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị. Lập bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đồ thị nhận \(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng.

b) Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\). Để hàm số có hai cực trị thì đạo hàm \(y'\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\), tức là \(3 - 2m \ne  - 1 \Leftrightarrow m \ne 2\) Để \(x_1^2 + x_2^2 = 5\) thì \({\left( {3 - 2m} \right)^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow m \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right\}\). c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\). Ta có \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 - 2m =  - 1 \Leftrightarrow m = 2\). d) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\). Trường hợp 1: \( - 1 \le 3 - 2m \Leftrightarrow m \le 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(3 - 2m \le 1 \Leftrightarrow m \ge 1\). Suy ra \(1 \le m < 2\) Trường hợp 2: \(3 - 2m <  - 1 \Leftrightarrow m > 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:

Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên trường hợp này ta có \(m > 2\). Vậy \(m \ge 1\).