Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\). Đường thẳng \(a\) đi qua \(A\) cắt \(BD,BC,DC\) lần lượt tại \(E,K,G\) (Hình 10). Chứng minh rằng: a) \(A{E^2} = EK.EG\); b) \(\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;AD//BC\) \( \Rightarrow AB//DG;AB//CG;BK//AD;KC//AD\) Xét tam giác \(DEG\) có \(AB//DG\), theo hệ quả của định lí Thales ta có: \(\frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (1) Xét tam giác \(ADE\) có \(BK//AD\), theo hệ quả của định lí Thales ta có: \(\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra, \(\frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EK}}{{AE}} \Rightarrow A{E^2} = EG.EK\) (điều phải chứng minh). b) Xét tam giác \(AED\) có: \(AD//BK \Rightarrow \frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{DE}}{{DB}}\)(3) Xét tam giác \(AEB\) có \(AB//DG \Rightarrow \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{BE}}{{BD}}\) (4) Từ (3) và (4) ta được: \(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{DE}}{{BD}} + \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BD}} = 1\) Ta có: \(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\) (chia cả hai vế cho \(AE\)) (điều phải chứng minh).