Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(BC\) bằng 30cm. Trên đường cao \(AH\) lấy các điểm \(K,I\) sao cho \(AK = KI = IH\). Qua \(I\) và \(K\) vẽ các đường \(EF//BC,MN//BC\left( {E,M \in AB;F,N \in AC} \right)\). a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(MN\) và \(EF\). b) Tính diện tích tứ giác \(MNFE\) biết rằng diện tích tam giác \(ABC\) là \(10,8d{m^2}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(AK = KI = IH \Rightarrow AK = \frac{1}{3}AH;AI = \frac{2}{3}AH\). Vì \(EF//BC \Rightarrow EK//BH;MN//BC \Rightarrow MI//BH\) Xét tam giác \(ABH\) ta có \(EK//BH\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{1}{3}\) Xét tam giác \(ABH\) ta có \(MI//BH\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{2}{3}\) Xét tam giác \(ABC\) ta có \(EF//BC\), theo hệ quả của định lí Thales ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{EF}}{{30}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EF = \frac{{30.1}}{3} = 10\) Xét tam giác \(ABC\) ta có \(MN//BC\), theo hệ quả của định lí Thales ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{30}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN = \frac{{30.2}}{3} = 20\) Vậy \(EF = 10cm;MN = 20cm\). b) Đổi \(10,8d{m^2} = 1080c{m^2}\) Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}AH.30 = 1080\left( {c{m^2}} \right)\) \( \Rightarrow AH = 1080.2:30 = 72cm\) Ta có: \(AH \bot BC \Rightarrow AH \bot MN\) (quan hệ từ vuông góc đến song song) Do đó, \(KI \bot MN\) Mà \(KI = \frac{1}{3}AH \Rightarrow KI = \frac{1}{3}.72 = 24cm\) Tứ giác \(MNFE\) có \(MN//EF\) (cùng song song với \(BC\)) nên tứ giác \(MNFE\) là hình thang. Lại có: \(KI \bot MN \Rightarrow KI\)là đường cao của hình thang. Diện tích hình thang \(MNFE\) là: \({S_{MNFE}} = \frac{1}{2}\left( {EF + MN} \right).KI = \frac{1}{2}.\left( {10 + 20} \right).24 = 360\left( {c{m^2}} \right)\) Vậy diện tích tứ giác \(MNFE\) là \(360c{m^2}\).