Đề bài

Cho hàm số \(y = {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét các mệnh đề sau: (I): Điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(\left( {0;1} \right)\). (II): Trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( C \right)\). (III): Giá trị lớn nhất của hàm số là 1. (IV): Điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(x = 0\). Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. \(4\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(y' = \left( {\frac{{ - {x^2}}}{2}} \right)'{e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}}} =  - x{e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}}} =  - x\frac{1}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}} = \frac{{ - x}}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}}\). Suy ra \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Ta xét dấu của đạo hàm. Qua điểm \(x = 0\), đạo hàm thay đổi giá trị từ dương sang âm. Do đó \(x = 0\) là một điểm cực đại của hàm số.

Xét lần lượt các mệnh đề ta có: + Mệnh đề (I): Do \(x = 0\) là một điểm cực đại của hàm số nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( {0;1} \right)\). Suy ra (I) đúng. + Mệnh đề (II): Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}} = 0\) suy ra \(y = 0\) hay \(Ox\) là tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\). Suy ra (II) đúng. + Mệnh đề (III): Giá trị lớn nhất của hàm số là 1. Suy ra (III) đúng. + Mệnh đề (IV): Theo mệnh đề (I) đúng ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( {0;1} \right)\) chứ không phải là \(x = 0\) nên (IV) sai. Vậy có tất cả 3 mệnh đề đúng nên ta chọn đáp án D.