Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\). a) Chứng minh rằng \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\). b) Phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(MN\) và \(BC\) lần lượt tại \(I\) và \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(BM\) là đường cao nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \); vì \(CN\) là đường cao nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) có: \(\widehat A\) (chung) \(\widehat {ANB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \) (chứng minh trên) Suy ra, \(\Delta AMB\backsim\Delta ANC\) (g.g). Suy ra, \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ). Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (tỉ lệ thức) Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) có: \(\widehat A\) (chung) \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (chứng minh trên) Suy ra, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) (c.g.c). b) Xét tam giác \(AMN\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\widehat {MAN}\left( {I \in MN} \right)\). Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\) Xét tam giác \(ABC\) có \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\left( {K \in BC} \right)\). Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) Mà \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh trên) nên \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) (điều phải chứng minh).