Đề bài

Cho tam giác \(ABC\)nhọn có hai đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Chứng minh rằng a) \(\Delta AEB\backsim\Delta AFC\). b) \(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}\). c) \(\Delta HEF\backsim\Delta HCB\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(BE\)là đường cao nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \); vì \(CF\)là đường cao nên \(\widehat {AFC} = 90^\circ \) Xét tam giác \(AEB\) và tam giác \(AFC\) có: \(\widehat A\) (chung) \(\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = 90^\circ \) (chứng minh trên) Suy ra, \(\Delta AEB\backsim\Delta AFC\) (g.g). b) Vì \(\Delta AEB\backsim\Delta AFC\) nên \(\widehat {ACF} = \widehat {ABE}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {ECH} = \widehat {FBH}\). Xét tam giác \(HEC\) và tam giác \(HFB\) có: \(\widehat {ECH} = \widehat {FBH}\) (chứng minh trên) \(\widehat {CEH} = \widehat {BFH} = 90^\circ \) (chứng minh trên) Suy ra, \(\Delta HEC\backsim\Delta HFC\) (g.g). Suy ra, \(\frac{{HE}}{{HF}} = \frac{{HC}}{{HB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) Hay \(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}\) (điều phải chứng minh). c) Xét tam giác \(HEF\) và tam giác \(HCB\) có: \(\widehat {FHE} = \widehat {BHC}\) (hai góc đối đỉnh) \(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}\) (chứng minh trên) Suy ra, \(\Delta HEF\backsim\Delta HCB\) (c.g.c).