Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh \(\tan \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\)

Lời giải chi tiết

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC. Khi đó ta có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat B}}{2}\). Vì tam giác ABD vuông tại A, ta có \(\tan {B_1} = \frac{{AD}}{{AB}}\)(1) Mà AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có \(\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{BC}}\), suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\). Do đó \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD + CD}}{{AB + BC}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\) (2) Từ (1) và (2) ta có \(\tan {B_1} = \tan \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\).