Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\); b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). Sự biến thiên: + Ta có \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\). + Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\). + Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) với \({y_{CĐ}} = 4\), đạt cực tiểu tại \(x = 3\) với \({y_{CT}} = 0\). + Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  + \infty \). + Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;0} \right)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\). Đồ thị nhận \(\left( {2;2} \right)\) làm tâm đối xứng.

b)  Tập xác định: \(\mathbb{R}\). Sự biến thiên: + Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + 6 > 0\) với mọi \(x\). + Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). + Hàm số không có cực trị. + Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \). + Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;4} \right)\), cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - 1;0} \right)\), đồ thị có tâm đối xứng là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).