Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{3x + 5}}{{x + 2}}\); b) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) Sự biến thiên: + Ta có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  - 2\). + Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\). + Hàm số không có cực trị. + Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  = 3\) suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 2\). + Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( {\frac{{ - 5}}{3};0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\). Đồ thị nhận \(\left( { - 2;3} \right)\) làm tâm đối xứng. Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

b)  Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Sự biến thiên: + Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\). + Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). + Hàm số không có cực trị. + Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2\) suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\). + Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;1} \right)\), cắt trục hoành tại điểm \(\left( {\frac{1}{2};0} \right)\), đồ thị có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1;2} \right)\). Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.