Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) \(y = x + \frac{1}{x}\); b) \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 1\). Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\). Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\) và \({y_{CĐ}} = y\left( -1 \right) = -2\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\). b) Tập xác định: \(\mathbb{R}\) Ta có \(y' = \frac{{1 \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 1\). Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và \({y_{CĐ}} = y\left( { - 1} \right) =  \frac{1}{2}\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\) và \({y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{2}\).