Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng có cực tiểu tại điểm \(x = 0\).

Lời giải chi tiết

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }}  = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} =  - \infty;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }}  = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} =  + \infty.\) Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }}  = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }}  = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) do đó hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\). Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Mà \(f\left( x \right) > 0{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0\) suy ra \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right){\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0\), do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\).